知识趣堂-数学02期，总第2期。文章在学霸时光机www.syf.ink不定期更新。只为开拓你的思维。

在这一期文章中，我们将一步步带你证明有理数和正偶数一样多

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入门级：正整数和正偶数一样多

此部分内容原自知乎作者：研研仔
链接：https://www.zhihu.com/question/288093713/answer/472397585

如何比较两个有无穷多个元素的集合呢？数学上的办法就是建立一个一一对应的关系。比如我有5个苹果和5个梨子，那么我们可以将每个苹果对应到一个梨子上，既没有多出的苹果，也没有多出的梨子，那么很显然这两个集合里的元素是一样多的。

用数学语言说，就是要在两个集合 S 和 T 上建立一个映射

这个映射必须满足两个条件，既是单射injective的（不会有两个 S 的元素映射到 T 中相同的一个元素上），也要是满射surjective的（ T 中不会有任何一个元素没有被映射到）。这样的映射被叫做双射bijective，也就是通俗语言中的“一一对应”。

对于无限的集合，我们也可以去找这样的对应关系，只要能找到，我们就认为这两个集合是一样“大”的。数学上叫做集合的“势”cardinality。

对于每一个正整数，我们只要把它乘上2，就会得到一个正偶数。这样，1对应2，2对应4，3对应6……n对应2n。这个映射的左边没有遗漏任何一个正整数，右边也没有遗漏任何一个正偶数。因此我们找到了正整数和正偶数之间的一个一一对应关系，所以我们说这两个集合的是等势的。

类似的，我们还可以发现，正整数和整数是一样多的。我们可以建立如下的对应关系：

虽然看上去上下两行没有什么直观的关系（无法写出一个表达式），但注意到这两个集合我们都可以用一些特定的顺序一个不落地遍历每一个元素。因此，和刚才一样，我们左边（上一行）没有遗漏任何正整数，右边（下一行）也没有遗漏任何整数。

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进阶级：有理数和自然数一样多

此部分为学霸时光机原创

有理数均可以表示成分数，用同样的方法，有理数可以和自然数建立以下对应关系，满足上文中提及到的“一一对应”的关系

0 —— 0

1/1 ——1

-1/1 ——2

1/2 ——3

-1/2 ——4

2/1 ——5

-2/1 ——6

······

虽然看起来不可思议，但是我们证明了有理数和自然数一样多

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事实上，对于一个无限的集合，只要我们可以一个不落地遍历每个元素，那么它就和正整数是等势的。这样的无限叫做“可数的”countable，是最小的一种无限，记为

希尔伯特曾提出“希尔伯特旅馆”来帮助大家理解“无限”。这个旅馆有无穷多间房间，但是都住满了。这时，有一名旅客要求住宿。旅馆老板说：“我们每一间房间都住满了，但不用担心，我仍然可以为你找到房间”。
他让1号房间的旅客搬到2号房间，2号房间的旅客搬到3号房间……n号房间的旅客搬到n+1号房间。这样，每一位旧的旅客都搬到了一个新的房间，没有多出来的旅客，而我们却空出来了一间房间。新的旅客开心地住进了空出来的1号房间。这也就是说 ∞ + 1 = ∞

然而此时，又来了无穷多个旅客，要求住宿。旅店老板又操作起来：他让1号房间的旅客搬到2号房间，2号房间的旅客搬到4号房间……n号房间的旅客搬到2n号房间。这样所有原来的旅客都有了一个新的房间，而所有的奇数房间都空了出来，刚好有无穷多个，新来的无穷多个旅客开心地住了进去。这也就是说 ∞ + ∞ = ∞

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拓展级：实数比正整数多

此部分内容同样原自知乎作者：研研仔
链接：https://www.zhihu.com/question/288093713/answer/472397585

然而，不是所有的无限的集合都是可数的。比如，0到1这个区间内的所有实数就是不可数的。我们怎么可能数得完呢？第一个数是0，没问题。那么第二个数呢？0.0000……01？中间要有多少个0呢？我们无法找到那个“刚刚好大于0”的实数。

有一个经典的证明，证明0到1之间的实数比正整数要多。这个证明用的是反证法：假设我们已经找到了这样一个映射，每一个正整数都对应着一个0到1之间的实数：

这时，我们可以构建一个新的实数，它的第1位与第1个实数的第1位不同，第2位与第2个实数的第2位不同……第n位与第n个实数的第n位不同，仔细想想？

这个新的实数与已经列出的每一个实数都至少有一位数字不同，所以是一个没有被映射到的0到1之间的实数，与我们的假设违背。因此假设不成立，证毕。

这就是说，尽管都是无穷多个，实数的数量要多于整数的数量。实数是一个“不可数”uncountable的集合，它的势被记作 。

还有许许多多更“大”的无穷，每一个都比前一个要“大”得多。曲线中的点、曲面中的点、一个球内的点，这些集合都是不可数的。